Resumen: En esta charla, buscaremos introducir algunos aspectos del programa de Langlands. Estos permitirán dar el enunciado del principio de funtorialidad, aspecto central en el programa, y obtener algunos resultados de funtorialidad en característica positiva para el grupo especial ortogonal par no escindido.
Resumen: Para una superficie elíptica no constante sobre \mathbb{P}^1 definida sobre \mathbb{Q}, es un resultado de Silverman que el rango de Mordell-Weil de casi toda fibras (en \mathbb{P}^1(\mathbb{Q})) es al menos el rango del grupo de secciones. Si la curva elíptica no es isotrivial, se conjetura que hay infinitas fibras en donde los rangos coinciden (el rangono salta), pero hasta el momento no se conocen ejemplos en donde esto ocurra. En esta charla vamos a demostrar que asumiendo que hay infinitos primos de Mersenne, podemos exhibir una superficie elíptica que tiene infinitas fibras cuyos rangos no saltan. Este es un trabajo conjunto con Héctor Pastén.
Resumen: The Hodge structure of a smooth projective algebraic variety an important invariant which, in many cases, is expected to determine the variety itself. This expectation is called the “Torelli principle”, and it is based on a classical theorem by Torelli for algebraic curves and their Jacobians. In this talk, we will focus on Klein hypersurfaces in the projective space and we will explain how to determine their automorphism group and, in some cases, how to compute the automorphism group of the associated polarized Hodge structure. These results provide new positive evidence for the Torelli principle for cubic fivefolds and quartic threefolds, for which we can associate a principally polarized abelian variety called the Intermediate Jacobian. This is based on a joint work with Víctor González, Pedro Montero and Roberto Villaflor.
Resumen: El número de Pitágoras de un cuerpo se define como el menor entero positivo n (si este existe) tal que cada suma de cuadrados (diferente de cero) es una suma de n cuadrados en el cuerpo (si tal n no existe se dice que el número de Pitágoras del cuerpo es infinito). En esta charla, nos enfocaremos en mostrar algunos recientes resultados sobre este invariante en el caso de cuerpos de funciones de curvas sobre algunos cuerpos particulares que preservan propiedades de sumas de cuadrados sobre extensiones finitas (cuerpos hereditariamente pitagóricos). Utilizando un reciente principio local-global para formas cuadráticas, debido a V. Mehmeti, y una caracterización de un cuerpo hereditariamente pitagórico en términos de valoraciones, debido a L. Bröcker, demostraremos que el número de Pitágoras de un cuerpo de funciones de una curva sobre cualquier cuerpo hereditariamente pitagórico es menor o igual a cinco. Con este nuevo resultado, podemos resolver algunas preguntas sobre este invariante en extensiones trascendentes que detallaré en la charla.
El anterior resultado es parte de un trabajo en conjunto con D. Grimm (Usach), K. J. Becher, N. Daans y M. Zaninelli (Universiteit Antwerpen).
Apunte de la clase 1 y Apunte de la clase 2
Resumen: En este cursillo estudiaremos la teoría de formas modulares sobre el grupo SL_2(Z) y las funciones L asociadas a estas. Después de una rápida introducción general nos concentraremos en las formas modulares cuspidales, la transformada de Mellin de estas (que es una variación de la transformada integral de Laplace), y las funciones L que se obtienen de esta manera. En este punto discutiremos el teorema converso de Hecke, que prueba que toda la información contenida en una forma cuspidal es la misma que está presente en la función L asociada.
Terminaremos con un análisis de ciertos valores especiales de la función L construida a partir de una forma cuspidal (los periodos de la forma cuspidal), y de como este conjunto finito de números complejos también caracterizan completamente a la forma modular.
Si bien daremos todas las definiciones básicas de la teoría de formas modulares, se asume un conocimiento sólido de variable compleja.
Resumen: En esta charla presentamos cómo calcular isogenias de forma eficiente con el objetivo de mejorar el rendimiento de protocolos basados en isogenias. En particular, protocolos post-cuánticos desarrollados para ser resistentes a los ataques cuánticos (en horas si se construye una computadora cuántica con suficiente capacidad). El uso de isogenias entre curvas supersingulares se popularizó en los 2010's y produjo el protocolo ``Supersingular Isogeny-based Diffie-Hellman'' (SIDH) de Jao, De Feo y Plut así como el protocolo ``Commutative Supersingular Isogeny-based Diffie-Hellman'' (CSIDH) de Castryck, Lange, Martindale, Panny y Renes. Tanto SIDH como CSIDH se han estudiado activamente durante los últimos doce años. En 2021, Banegas, Bernstein, Campos, Chou, Lange y Meyer propusieron una variante de CSIDH denominada CTIDH, que lograría una implementación más rápida en tiempo constante. Un reciente ataque de tiempo polinomial por parte de Castryck y Decru ha explotado parte de la información auxiliar filtrada en SIDH para romper completamente su seguridad. Por otro lado, el protocolo CSIDH no filtra ninguna información auxiliar y permanece seguro contra ataques cuánticos. A pesar de su lento desempeño, CSIDH tiene las claves públicas más pequeñas de todos los protocolos de intercambio de claves post-cuánticas y es el único que es conmutativo. Uno de los procedimientos clave del CSIDH es la evaluación. Comúnmente se utilizan las fórmulas de Velu para la construcción de una isogenia de grado n entre curvas elípticas y su evaluación en un punto. Para hacer este cálculo más eficiente, Bernstein, De Feo, Leroux y Smith propusieron las fórmulas de la raíz cuadrada de Vélu cambiando la complejidad del costo de O(n) a O(\sqrt{n}), siendo n es el grado de la isogenia. Adicionalmente, presentamos una versión paralela de las fórmulas de la raíz cuadrada de Vélu. Útiles para mejorar instancias más seguras de CSIDH donde se calculan isogenias de grados impar grandes.
Clase 1 y Clase 2
Resumen: Mientras que hay bastante claridad sobre los puntos racionales de curvas de tipo general (género al menos 2), en general es difícil controlar los puntos racionales de variedades de tipo general de dimensión mayor que 1. En este cursillo explicaré algunos resultados y conjeturas al respecto en el caso de superficies.
Resumen: We prove that any abstract $\ell$-volcano graph can be realized as a connected component of the $\ell$-isogeny graph of an ordinary elliptic curve defined over $\mathbb{F}_p$, where $\ell$ and $p$ are two different primes. This is joint work with Henry Bambury and Francesco Campagna. The talk will present the result and enough background to understand its depth.
Resumen: Aquí